Eigen 初始化矩阵需用模板类（如 MatrixXd），尺寸编译期确定，动态尺寸用 Dynamic；须启用 C++11，避免整数存入 MatrixXd 导致精度丢失，逗号初始化后需调用 .finished()。

如何用 Eigen 初始化矩阵并做基础运算

Eigen 不需要编译安装，头文件直连就能用，但必须确保启用 C++11 或更高标准（-std=c++11）。矩阵对象是模板类，类型和尺寸在编译期确定，动态尺寸用 Dynamic 占位。

常见错误：用 MatrixXd 存整数导致隐式转换丢失精度；或忘记调用 .finished() 在逗号初始化器后。

• MatrixXd A(3, 3); A —— 逗号初始化必须成行填满，否则行为未定义
• Vector3d v(1, 2, 3); 错误：构造函数不接受参数列表，应写 Vector3d v; v
• 点乘用 v.dot(u)，叉乘仅对 Vector3d 支持，用 v.cross(u)
• 矩阵乘法是 A * B，不是 A.dot(B)（后者只对向量有效）

解线性方程组 Ax = b 的三种常用方式

别直接求逆（A.inverse() * b），既慢又数值不稳定。Eigen 提供多个分解策略，选错会导致运行时断言失败或结果偏差大。

场景判断优先级：先看矩阵是否对称正定 → 再看是否小规模（A。

• 普通稠密矩阵（无特殊结构）：用 A.colPivHouseholderQr().solve(b)，鲁棒性强，支持秩亏
• 对称正定矩阵：用 A.llt().solve(b)，速度最快，但输入必须严格满足条件，否则运行时报 LLT decomposition failed
• 需要反复解不同 b：预分解一次，如 auto dec = A.lu(); 然后循环调用 dec.solve(b_i)

计算特征值与特征向量的注意事项

特征分解不是总能成功。实矩阵的特征值可能是复数，而 SelfAdjointEigenSolver 只适用于实对称/复共轭对称矩阵；用错会静默返回错误结果（如全零特征向量）。

区分两个关键类：SelfAdjointEigenSolver（快、稳定、要求对称）和 ComplexEigenSolver（通用但慢、结果含复数）。

• 对称矩阵：必须先确保 A.isApprox(A.transpose()) 成立，再用 SelfAdjointEigenSolver eig(A);
• 非对称矩阵：用 EigenSolver eig(A);，特征值在 eig.eigenvalues() 中是 VectorXcd 类型，不能直接取实部
• 提取最大特征向量：别用 eig.eigenvectors().col(0)，索引不按模排序；应遍历 eig.eigenvalues() 找模最大的下标再取列

性能与内存布局的关键细节

Eigen 默认列优先（column-major），和 Fortran、LAPACK 一致，但和 OpenCV、NumPy 默认行优先相反。混用时若不做拷贝或转置，数据会错位。

大矩阵运算易触发缓存失效，.noalias() 和表达式模板虽自动优化，但显式标注可避免临时对象：

• 避免 C = A * B + C;（产生临时矩阵），改用 C.noalias() += A * B;
• 从 OpenCV cv::Mat 构造 Eigen 矩阵时，若原图是行优先，必须先 .t() 或用 Map 指定 RowMajor 标签
• 释放大矩阵内存：Eigen 不管理堆内存生命周期，MatrixXd 析构时自动 free，但若用 Map 包装外部内存，别让 Eigen 对象活得比原始内存久

#include 
using namespace Eigen;
int main() {
  MatrixXd A = MatrixXd::Random(3,3);
  // 正确：对称化后再特征分解
  A = (A + A.transpose()) * 0.5;
  SelfAdjointEigenSolver eig(A);
  std::cout << "Eigenvalues:\n" << eig.eigenvalues() << "\n";
  return 0;
}

Eigen 的多数问题不出在“会不会写”，而出在“没意识到矩阵性质是否匹配所选求解器”。对称性、正定性、规模、内存布局——这四个点漏掉任何一个，都可能让结果看起来正常却完全错误。